\documentclass{jarticle}
\begin{document}








{\LARGE ITPASS 数値計算実習課題その1 }

{\large 　　　宇宙物理学研究室 B4 坂本大樹 }

{\large 　}

{\LARGE 問題 }

{\LARGE 1. }

{\large 中心星に働く力を$\mathbf{F}_ {12}$とすると中心星の運動方程式は、 }

\begin{displaymath}
m_ 1\frac{d^2\mathbf{r}_ 1}{dt^2}={ \mathbf{F}_ {12}=
-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 1-\mathbf{r}_ 2}|^3}(\mathbf{r}_ 1 - \mathbf{r}_ 2)  }
\end{displaymath}

{\large 惑星に働く力を$\mathbf{F}_ {21}$とすると惑星の運動方程式は、 }

\begin{displaymath}
m_ 2\frac{d^2\mathbf{r}_ 2}{dt^2}={\mathbf{F}_ {21}=
-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1) }
\end{displaymath}

{\large 中心星と惑星の相対座標は、}

\begin{displaymath}
{  \mathbf{r}=\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1 }
\end{displaymath}

{\large 両辺を時間tで二階微分すると、}

\begin{displaymath}
{\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_ 2}{dt^2}-\frac{d^2\mathbf{r}_ 1}{dt^2}  }
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
{ \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{Gm_ {1}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)
+\frac{Gm_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 1-\mathbf{r}_ 2}|^3}(\mathbf{r}_ 1 - \mathbf{r}_ 2)  }
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
　　{ =-\frac{Gm_ {1}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)
-\frac{Gm_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)  }
\end{displaymath}

{\large よって、}

\begin{displaymath}
{\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}
=-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1) }
\end{displaymath}

{\large 以上より、}

\begin{displaymath}
{\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}\mathbf{r} \cdots(*)}
\end{displaymath}

{\large $\mathbf{r}$ は $ \mathbf{r}=\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1$で表される相対ベクトルとすると、
(＊)式は中心星から見た惑星の運動を表していると考えられる。}

\bigskip

{\large ここで、(＊)式の右辺を変形すると }

\begin{displaymath}
{-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}\mathbf{r}
=-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{r^3}\mathbf{r}(\frac{1}{m_ {1}}+\frac{1}{m_ {2}}) }
=-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{r^3}\mathbf{r}\left(\frac{m_ {1}+m_ {2}}{m_ 1m_ 2}\right)
\end{displaymath}

\newpage

{\large よって(＊)式は以下のように表せる。 }

\begin{displaymath}
\left(\frac{m_ 1m_ 2}{m_ {1}+m_ {2}}\right)\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{r^3}\mathbf{r} 
\end{displaymath}

{\large $\frac{m_ {1}+m_ {2}}{m_ 1m_ 2}=\mu$ と置くと(＊)式は、}

\begin{displaymath}
\mu\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{r^3}\mathbf{r} 
\end{displaymath}

{\large したがって、上記の運動方程式から中心星に対する惑星の運動は、
中心星を固定し惑星の質量を $\mu$ と置いて考えた時の運動と等しいということが考えられる。}

\bigskip
\bigskip

{\LARGE 2. }

{\large 相対ベクトル $ \mathbf{r}=(x,y) $ に対して速度を}

\begin{displaymath}
{ \mathbf{v}=(v_ x,v_ y)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)  }
\end{displaymath}

{\large と定義すると、}

\begin{displaymath}
{r=\sqrt{x^2+y^2}}
\end{displaymath}

{\large また、}

\begin{displaymath}
{ \left(\frac{dv_ x}{dt},\frac{dv_ y}{dt}\right)=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)  }
\end{displaymath}

{\large 1.から、}

\begin{displaymath}
\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)
=\left( -\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}x,-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}y \right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
=\left(-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}x,-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}y\right)
\end{displaymath}

{\large よって、}

\begin{displaymath}
\left(\frac{dv_ x}{dt},\frac{dv_ y}{dt}\right)
=\left(-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}x,-\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}y\right)
\end{displaymath}






\end{document}